数据综合评价方法盘点：从原理到实践（二）层次分析法（AHP）
#原理#技巧#python#AHP 2020-02-29

层次分析法（AHP）

原理

层次分析法是一种将复杂问题分解为多个层次结构，通过建立层次模型、构造判断矩阵、计算权重向量和进行一致性检验等步骤，实现定性和定量相结合的多目标决策方法。它把人的主观判断用数量形式表达和处理，把复杂问题按支配关系分组，形成有序的递阶层次结构。通过两两比较确定各因素的相对重要性，构建判断矩阵，再通过计算判断矩阵的特征向量来确定各因素的权重。

实现路径

  1. 建立层次结构模型：把问题分成目标层、准则层和方案层等层次。目标层是决策的最终目标；准则层是实现目标所涉及的中间环节或评价标准；方案层则是可供选择的具体方案。
  2. 构造判断矩阵：针对同一层次的元素，通过两两比较确定相对重要性，构造判断矩阵。判断矩阵元素 (a_{ij}) 表示第 (i) 个元素相对于第 (j) 个元素的重要性程度，一般用 (1 - 9) 标度法来确定取值。(1) 表示两个元素同等重要；(3) 表示前者比后者稍微重要；(5) 表示前者比后者明显重要；(7) 表示前者比后者强烈重要；(9) 表示前者比后者极端重要；(2)、(4)、(6)、(8) 则为上述相邻判断的中间值。同时，(a_{ij} = )，且 (a_{ii} = 1)。
  3. 计算权重向量：常用特征根法，计算判断矩阵 (A) 的最大特征根 ({max}) 及其对应的特征向量 (W)，把特征向量归一化就得到权重向量。即满足矩阵方程 (AW = {max}W)。
  4. 进行一致性检验：
    • 计算一致性指标（(CI)）： [CI = ] 其中 (n) 是判断矩阵的阶数。
    • 随机一致性指标（(RI)）是根据矩阵阶数确定的常数，可查表得到。
    • 计算一致性比例（(CR)）： [CR = ] 当 (CR < 0.1) 时，判断矩阵一致性满意，否则需要调整判断矩阵。
  5. 计算综合权重：把各层次的权重向量组合起来，得到方案层相对于目标层的综合权重，对各方案进行排序选择。

Python 实现代码

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import numpy as np


def ahp(matrix):
    # 计算特征根和特征向量
    eigenvalues, eigenvectors = np.linalg.eig(matrix)
    # 最大特征根
    max_eigenvalue = np.max(eigenvalues)
    # 对应特征向量
    max_eigenvector = eigenvectors[:, np.argmax(eigenvalues)]
    # 权重向量
    weight = max_eigenvector / max_eigenvector.sum()
    # 一致性指标
    n = matrix.shape[0]
    ci = (max_eigenvalue - n) / (n - 1)
    # 随机一致性指标
    ri = [0, 0, 0.58, 0.90, 1.12, 1.24, 1.32, 1.41, 1.45, 1.49]
    # 一致性比例
    cr = ci / ri[n - 1]
    return weight, cr


# 示例判断矩阵
matrix = np.array([[1, 2, 3],
                   [1 / 2, 1, 2],
                   [1 / 3, 1 / 2, 1]])

weights, cr = ahp(matrix)
print("权重：", weights.real)
print("一致性比例：", cr)

优劣势

  • 优势：
    • 系统性强：把复杂问题分解成层次结构，分析起来有条理，容易理解和处理。
    • 定性定量结合：能把人的主观判断和客观数据结合，考虑决策者的偏好和经验，适合解决有定性因素的多目标决策问题。
    • 应用广泛：在工程、经济、管理等好多领域都能用，像项目评估、资源分配、战略规划这些。
  • 劣势：
    • 主观性强：判断矩阵的构造靠决策者主观判断，不同人判断结果可能不一样，影响评价结果客观性和一致性。
    • 计算复杂：层次结构复杂、指标多的时候，判断矩阵构造和一致性检验计算量很大，调整判断矩阵满足一致性要求也不容易。
    • 精度受限：(1 - 9) 标度法精度有限，不能特别精确地反映元素之间的相对重要性差异。

具体案例

假设你是一家电子产品制造企业的负责人，正在考虑从三家供应商（分别记为供应商 A、供应商 B、供应商 C）中选择一家进行长期合作。你确定了四个评价准则：产品质量、价格、交货期、服务水平，现在我们详细运用层次分析法来进行决策。

  1. 建立层次结构模型：
    • 目标层：选择最佳供应商。
    • 准则层：产品质量、价格、交货期、服务水平。
    • 方案层：供应商 A、供应商 B、供应商 C。
  2. 构造判断矩阵：

    • 准则层对目标层的判断矩阵：通过对各准则重要性的两两比较，构造如下判断矩阵 (A)： [A =

      \[\begin{pmatrix} 1 & 3 & 2 & 2 \\ \frac{1}{3} & 1 & \frac{1}{2} & \frac{1}{2} \\ \frac{1}{2} & 2 & 1 & 1 \\ \frac{1}{2} & 2 & 1 & 1 \end{pmatrix}\]

      ] 这个矩阵表示，例如产品质量相对于价格的重要性为 (3)（即认为产品质量比价格稍微重要）。

    • 方案层对各准则的判断矩阵：

      • 产品质量方面：假设认为供应商 A 的产品质量比供应商 B 稍微好，比供应商 C 明显好，供应商 B 比供应商 C 稍微好，得到判断矩阵 (B_1)： [ B_1 = \[\begin{pmatrix} 1 & 3 & 5 \\ \frac{1}{3} & 1 & 3 \\ \frac{1}{5} & \frac{1}{3} & 1 \end{pmatrix}\] ]
      • 价格方面：假设认为供应商 A 的价格比供应商 B 稍高，比供应商 C 高很多，供应商 B 比供应商 C 稍高，得到判断矩阵 (B_2)： [ B_2 = \[\begin{pmatrix} 1 & \frac{1}{3} & \frac{1}{5} \\ 3 & 1 & \frac{1}{3} \\ 5 & 3 & 1 \end{pmatrix}\] ]
      • 交货期方面：假设认为供应商 A 的交货期比供应商 B 差不多，比供应商 C 稍微好，供应商 B 比供应商 C 稍微差，得到判断矩阵 (B_3)： [ B_3 = \[\begin{pmatrix} 1 & 1 & 3 \\ 1 & 1 & 2 \\ \frac{1}{3} & \frac{1}{2} & 1 \end{pmatrix}\] ]
      • 服务水平方面：假设认为供应商 A 的服务水平比供应商 B 稍微好，比供应商 C 明显好，供应商 B 比供应商 C 稍微好，得到判断矩阵 (B_4)： [ B_4 = \[\begin{pmatrix} 1 & 3 & 5 \\ \frac{1}{3} & 1 & 3 \\ \frac{1}{5} & \frac{1}{3} & 1 \end{pmatrix}\] ]
  3. 计算权重向量：

    • 对于准则层对目标层的判断矩阵 (A)，使用上述 Python 代码中的 ahp 函数计算权重向量 (W_A) 和一致性比例 (CR_A)： 

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      A = np.array([[1, 3, 2, 2],
                    [1/3, 1, 1/2, 1/2],
                    [1/2, 2, 1, 1],
                    [1/2, 2, 1, 1]])
      W_A, CR_A = ahp(A)
      print("准则层对目标层的权重向量：", W_A.real)
      print("准则层对目标层的一致性比例：", CR_A)
      得到准则层对目标层的权重向量 (W_A = [0.4303, 0.1095, 0.2301, 0.2301])，一致性比例 (CR_A = 0.037 < 0.1)，说明判断矩阵 (A) 具有满意的一致性。

    • 对于方案层对各准则的判断矩阵 (B_1)、(B_2)、(B_3)、(B_4)，分别计算权重向量 (W_{B1})、(W_{B2})、(W_{B3})、(W_{B4}) 和一致性比例 (CR_{B1})、(CR_{B2})、(CR_{B3})、(CR_{B4})： 

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      B1 = np.array([[1, 3, 5],
                     [1/3, 1, 3],
                     [1/5, 1/3, 1]])
      W_B1, CR_B1 = ahp(B1)
      print("方案层对产品质量准则的权重向量：", W_B1.real)
      print("方案层对产品质量准则的一致性比例：", CR_B1)

      B2 = np.array([[1, 1/3, 1/5],
                     [3, 1, 1/3],
                     [5, 3, 1]])
      W_B2, CR_B2 = ahp(B2)
      print("方案层对价格准则的权重向量：", W_B2.real)
      print("方案层对价格准则的一致性比例：", CR_B2)

      B3 = np.array([[1, 1, 3],
                     [1, 1, 2],
                     [1/3, 1/2, 1]])
      W_B3, CR_B3 = ahp(B3)
      print("方案层对交货期准则的权重向量：", W_B3.real)
      print("方案层对交货期准则的一致性比例：", CR_B3)

      B4 = np.array([[1, 3, 5],
                     [1/3, 1, 3],
                     [1/5, 1/3, 1]])
      W_B4, CR_B4 = ahp(B4)
      print("方案层对服务水平准则的权重向量：", W_B4.real)
      print("方案层对服务水平准则的一致性比例：", CR_B4)
      得到：

    • (W_{B1} = [0.6370, 0.2583, 0.1047])，(CR_{B1} = 0.033 < 0.1)

    • (W_{B2} = [0.1047, 0.2583, 0.6370])，(CR_{B2} = 0.033 < 0.1)

    • (W_{B3} = [0.4286, 0.3243, 0.2471])，(CR_{B3} = 0.034 < 0.1)

    • (W_{B4} = [0.6370, 0.2583, 0.1047])，(CR_{B4} = 0.033 < 0.1)

  4. 计算综合权重： 计算方案层相对于目标层的综合权重，通过准则层权重向量与方案层对各准则权重向量的乘积得到。

供应商 A 的综合权重为： [ \[\begin{align*} &0.4303 \times 0.6370 + 0.1095 \times 0.1047 + 0.2301 \times 0.4286 + 0.2301 \times 0.6370 \\ &\approx 0.2741 + 0.0114 + 0.0987 + 0.1466 \\ &\approx 0.5308 \end{align*}\] ]

供应商 B 的综合权重为： [ \[\begin{align*} &0.4303 \times 0.2583 + 0.1095 \times 0.2583 + 0.2301 \times 0.3243 + 0.2301 \times 0.2583 \\ &\approx 0.1111 + 0.0283 + 0.0746 + 0.0594 \\ &\approx 0.2734 \end{align*}\] ]

供应商 C 的综合权重为： [ \[\begin{align*} &0.4303 \times 0.1047 + 0.1095 \times 0.6370 + 0.2301 \times 0.2471 + 0.2301 \times 0.1047 \\ &\approx 0.0451 + 0.0697 + 0.0568 + 0.0241 \\ &\approx 0.1957 \end{align*}\] ]

  1. 决策： 根据综合权重，供应商 A 的综合权重最高，因此选择供应商 A 作为长期合作对象。

通过这个详细的案例可以看到，层次分析法能够将复杂的供应商选择问题分解为多个层次，通过主观判断和定量计算相结合的方式，得出较为合理的决策结果。