数据综合评价方法盘点：从原理到实践（五）模糊综合评价法

#原理 #技巧 #python #模糊综合评价法 2020-05-29

模糊综合评价法

原理

模糊综合评价法是借助模糊数学的理论，将那些边界模糊、难以直接定量描述的因素进行量化处理。在实际生活中，很多事物的评价标准并非清晰明确，比如对一个产品的“满意度”、对环境的“舒适度”等，都带有一定的模糊性。该方法就是通过构建模糊关系矩阵，结合各指标的权重，运用模糊合成运算，来确定评价对象在不同评价等级上的隶属程度，从而实现对其的综合评价。

实现路径

确定评价指标集和评语集：明确要评价的指标有哪些，以及评价的等级划分。例如，评价一个项目的可行性，指标集可能包括“技术可行性”“经济可行性”“市场前景”等；评语集可以是“高”“较高”“一般”“较低”“低”。
构建模糊关系矩阵：通过专家打分、问卷调查等方式，确定每个指标对于不同评语等级的隶属度，从而形成模糊关系矩阵。这个矩阵反映了各个指标与不同评价等级之间的模糊关系。
确定各指标权重：可以采用主观赋权法（如层次分析法）或客观赋权法（如熵值法）来确定每个指标在综合评价中的权重。权重体现了各指标的相对重要性。
进行模糊合成运算：将模糊关系矩阵与权重向量进行模糊合成运算，常见的运算方法有最大 - 最小合成法、最大 - 乘积合成法等。通过运算得到综合评价向量，该向量表示评价对象对各个评语等级的隶属程度。

Python实现代码

import numpy as np


# 定义权重向量
weights = np.array([0.3, 0.3, 0.4])

# 定义模糊关系矩阵
R = np.array([
    [0.2, 0.5, 0.3],
    [0.3, 0.4, 0.3],
    [0.1, 0.6, 0.3]
])

# 模糊合成运算
result = np.dot(weights, R)
print("模糊综合评价结果：", result)

优劣势

优势：
- 处理模糊信息能力强：能够很好地处理那些具有模糊性的评价问题，将定性和定量信息有机结合，更符合人们对复杂事物的认知方式。
- 评价结果信息丰富：以隶属度的形式呈现评价结果，能够提供比单一评价等级更为丰富的信息，有助于全面了解评价对象的情况。
劣势：
- 主观性较强：在确定模糊关系矩阵和权重向量时，往往需要依赖人的主观判断，不同的人可能会得出不同的结果，从而影响评价的客观性。
- 计算过程复杂：尤其是当指标集和评语集较大时，模糊关系矩阵的构建和模糊合成运算会变得较为繁琐，计算量较大。

具体案例

某知名手机厂商推出一款新型智能手机，为深入了解用户对该手机的满意度，以便为后续产品优化和市场策略调整提供依据，决定采用模糊综合评价法对用户满意度进行全面评估。

确定评价指标集和评语集

1. 评价指标集：经市场调研和专家讨论，确定了影响用户对手机满意度的三个主要指标：外观设计、性能表现、价格合理性。
1. 评语集：将用户对手机的满意度划分为五个等级，即非常满意、满意、一般、不满意、非常不满意。

构建模糊关系矩阵为构建模糊关系矩阵，该手机厂商通过线上线下相结合的方式，广泛发放问卷，共收集到 1000 份有效问卷。对问卷数据进行整理和统计，得到每个指标对于不同评语等级的隶属度，从而形成模糊关系矩阵 $R$ 。

以外观设计为例，在 1000 份问卷中，有 200 人选择“非常满意”，300 人选择“满意”，300 人选择“一般”，100 人选择“不满意”，100 人选择“非常不满意”。则外观设计对于不同评语等级的隶属度分别为 $0.2$ 、 $0.3$ 、 $0.3$ 、 $0.1$ 、 $0.1$ 。

同理，对性能表现和价格合理性进行统计分析，最终得到模糊关系矩阵 $R$ ：

[ R = \[\begin{pmatrix} 0.2 & 0.3 & 0.3 & 0.1 & 0.1 \\ 0.1 & 0.4 & 0.3 & 0.1 & 0.1 \\ 0.1 & 0.2 & 0.3 & 0.2 & 0.2 \end{pmatrix}\]

]

确定各指标权重采用层次分析法确定各指标权重。邀请手机行业专家、市场营销人员以及部分资深用户组成 10 人评价小组，对各指标的相对重要性进行两两比较，构造判断矩阵 $A$ 。

判断矩阵 $A$ 的元素 $a_{ij}$ 表示第 $i$ 个指标相对于第 $j$ 个指标的重要性程度，取值范围为 1 - 9 及其倒数，具体含义如下：

标度	含义
1	表示两个指标相比，具有同样重要性
3	表示两个指标相比，前者比后者稍微重要
5	表示两个指标相比，前者比后者明显重要
7	表示两个指标相比，前者比后者强烈重要
9	表示两个指标相比，前者比后者极端重要
2, 4, 6, 8	表示上述相邻判断的中间值
倒数	若指标 $i$ 与指标 $j$ 的重要性之比为 $a_{ij}$ ，则指标 $j$ 与指标 $i$ 的重要性之比为 $a_{ji} = \frac{1}{a_{ij}}$

经过讨论和打分，得到判断矩阵 $A$ ：

[ A = \[\begin{pmatrix} 1 & \frac{3}{4} & \frac{3}{4} \\ \frac{4}{3} & 1 & 1 \\ \frac{4}{3} & 1 & 1 \end{pmatrix}\]

]

接下来计算判断矩阵 $A$ 的最大特征值 $\lambda_{max}$ 和对应的特征向量 $W$ 。

1. 计算特征向量 $W$ ：计算判断矩阵 $A$ 每一行元素的乘积： [ M_1 = 1 = ] [ M_2 = = ] [ M_3 = = ] 计算 $M_i$ 的 $n$ 次方根（ $n$ 为矩阵阶数，这里 $n = 3$ ）： [ = ] [ = ] [ = ]
- 对 $\overline{W_i}$ 进行归一化处理，得到特征向量 $W$ ： [ W = ]
1. 计算最大特征值 $\lambda_{max}$ ： [ AW = \[\begin{pmatrix} 1 & \frac{3}{4} & \frac{3}{4} \\ \frac{4}{3} & 1 & 1 \\ \frac{4}{3} & 1 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0.3 \\ 0.4 \\ 0.3 \end{pmatrix}\] = \[\begin{pmatrix} 0.3 + 0.3 + 0.225 \\ 0.4 + 0.4 + 0.3 \\ 0.4 + 0.4 + 0.3 \end{pmatrix}\] = \[\begin{pmatrix} 0.825 \\ 1.1 \\ 1.1 \end{pmatrix}\] ]

[ _{max} = ( + + ) ]

1. 进行一致性检验：计算一致性指标 $CI$ ： [ CI = = = 0 ]

随机一致性指标 $RI$ （当 $n = 3$ 时）为 $0.58$ 。

一致性比例 $CR = \frac{CI}{RI} = \frac{0}{0.58} = 0 < 0.1$ ，说明判断矩阵具有满意的一致性，确定的权重向量 $w = [0.3, 0.4, 0.3]$ 是合理的。

进行模糊合成运算采用最大 - 乘积合成法，将权重向量 $w$ 与模糊关系矩阵 $R$ 进行模糊合成运算，得到综合评价向量 $S$ 。

[ S = w R = \[\begin{pmatrix} 0.3 & 0.4 & 0.3 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0.2 & 0.3 & 0.3 & 0.1 & 0.1 \\ 0.1 & 0.4 & 0.3 & 0.1 & 0.1 \\ 0.1 & 0.2 & 0.3 & 0.2 & 0.2 \end{pmatrix}\]

]

[ S_1 = 0.3 + 0.4 + 0.3 = 0.13 ] [ S_2 = 0.3 + 0.4 + 0.3 = 0.29 ] [ S_3 = 0.3 + 0.4 + 0.3 = 0.3 ] [ S_4 = 0.3 + 0.4 + 0.3 = 0.15 ] [ S_5 = 0.3 + 0.4 + 0.3 = 0.13 ]

所以，综合评价向量 $S = [0.13, 0.29, 0.3, 0.15, 0.13]$ 。

结果分析与建议综合评价向量 $S$ 表明，用户对这款手机在不同满意度等级上的隶属程度。其中，“满意”的隶属度为 $0.29$ ，“一般”的隶属度为 $0.3$ ，这两个值相对较高，说明大部分用户对这款手机的满意度处于“满意”和“一般”之间。

基于此结果，手机厂商可以采取以下针对性的改进措施：

外观设计方面：虽然有 $20\%$ 的用户表示“非常满意”，但仍有较大提升空间。可以进一步开展用户调研，深入了解用户对外观设计的具体需求和偏好，如颜色搭配、材质质感、机身尺寸和重量等方面的意见，以便在后续产品设计中进行优化。
性能表现方面：“满意”的比例为 $40\%$ ，说明性能方面有一定优势，但仍需持续改进。可以加大研发投入，优化手机的处理器性能、图形处理能力、电池续航能力以及散热系统等，以提升用户的使用体验。
价格合理性方面：“满意”和“一般”的比例较高，但也存在一定比例的用户认为价格不合理。厂商可以对市场同类产品进行详细的价格分析，结合自身成本和利润目标，重新评估产品定价策略。例如，可以考虑推出不同配置和价格段的产品，以满足不同用户群体的需求。