数据综合评价方法盘点：从原理到实践（十一）数据包络分析
#原理#技巧#python#数据包络分析 2020-11-29

数据包络分析

原理

数据包络分析（DEA）是一种基于线性规划的多投入多产出的效率评价方法。它以决策单元（DMU）的投入和产出数据为基础，通过构建生产可能集，确定生产前沿面，来衡量决策单元的相对效率。其基本思想是，将每个决策单元视为一个生产系统，通过比较各个决策单元与生产前沿面的距离，判断其是否有效。如果一个决策单元位于生产前沿面上，说明它在当前投入水平下实现了最大产出，是相对有效的；反之，如果决策单元在生产前沿面下方，则表明其存在效率改进的空间。

实现路径

  1. 确定决策单元和指标体系：明确需要评价的决策单元，例如不同的企业、部门或项目等，并确定相应的投入指标和产出指标。投入指标是决策单元在生产过程中所消耗的资源，如人力、物力、财力等；产出指标则是决策单元的生产成果，如产量、利润、服务质量等。
  2. 构建 DEA 模型：常用的 DEA 模型有 CCR 模型和 BCC 模型。CCR 模型假设规模报酬不变，主要用于评价决策单元的总体效率；BCC 模型则假设规模报酬可变，能够进一步将总体效率分解为纯技术效率和规模效率。根据研究目的和数据特点选择合适的模型。
  3. 数据收集与整理：收集各决策单元的投入和产出数据，并进行必要的预处理，如数据标准化等，以确保数据的一致性和可比性。
  4. 求解模型：将收集到的数据代入所选的 DEA 模型中，通过线性规划方法求解模型，得到每个决策单元的效率值。效率值的取值范围在 0 到 1 之间，值为 1 表示该决策单元是相对有效的，值小于 1 则表示存在效率改进的余地。
  5. 结果分析：根据计算得到的效率值，对决策单元进行排序和分析。可以进一步分析无效决策单元的投入冗余和产出不足情况，找出改进的方向和重点，为决策提供依据。

Python 实现代码

1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
from pymoo.model.problem import Problem
from pymoo.algorithms.moo.nsga2 import NSGA2
from pymoo.factory import get_sampling, get_crossover, get_mutation
from pymoo.optimize import minimize
import numpy as np


class DEAProblem(Problem):
    def __init__(self, X, Y):
        self.X = X
        self.Y = Y
        n_dmu, n_inputs = X.shape
        n_dmu, n_outputs = Y.shape
        super().__init__(n_var=n_dmu, n_obj=1, n_constr=0, xl=0, xu=1)

    def _evaluate(self, x, out, *args, **kwargs):
        X = self.X
        Y = self.Y
        n_dmu, n_inputs = X.shape
        n_dmu, n_outputs = Y.shape
        theta = np.zeros(len(x))
        for i in range(len(x)):
            lambdas = x[i]
            numerator = np.dot(lambdas, Y)
            denominator = np.dot(lambdas, X)
            theta[i] = np.min(Y[i] / numerator) if np.sum(lambdas) > 0 else 0
        out["F"] = -theta


# 示例数据
X = np.array([[10, 20], [15, 25], [20, 30]])  # 投入数据
Y = np.array([[30, 40], [40, 50], [50, 60]])  # 产出数据

problem = DEAProblem(X, Y)
algorithm = NSGA2(
    pop_size=100,
    n_offsprings=50,
    sampling=get_sampling("real_random"),
    crossover=get_crossover("real_sbx", prob=0.9, eta=15),
    mutation=get_mutation("real_pm", eta=20)
)

res = minimize(problem,
               algorithm,
               ('n_gen', 100),
               verbose=False)

efficiency_scores = -res.F
print("DEA 效率得分：", efficiency_scores)

优劣势

  • 优势：
    • 无需预设生产函数形式：不需要事先确定投入和产出之间的具体函数关系，避免了因函数设定不当而导致的误差，适用于各种复杂的生产系统和评价对象。
    • 多投入多产出分析：能够同时处理多个投入指标和多个产出指标，全面考虑决策单元的综合效率，更符合实际情况。
    • 相对效率评价：以相对效率为评价标准，能够在不同决策单元之间进行横向比较，找出相对有效的决策单元和存在效率改进空间的决策单元，为决策提供有针对性的建议。
  • 劣势：
    • 数据依赖性强：评价结果高度依赖于所收集的数据，如果数据存在误差或不完整，可能会导致评价结果不准确。
    • 模型假设局限性：虽然 DEA 模型不需要明确的生产函数形式，但仍然基于一些假设，如规模报酬不变或可变等，这些假设在实际情况中可能并不完全成立，从而影响评价结果的合理性。
    • 结果解释困难：DEA 模型得到的效率值是一个相对概念，对于非专业人员来说，可能较难理解和解释效率值的具体含义以及如何根据结果进行有效的决策。

具体案例

在当今竞争激烈的商业环境中，企业管理者需要深入了解自身运营效率，以便做出科学决策，提升竞争力。数据包络分析（DEA）是一种有效的多投入多产出效率评价方法，能够帮助企业清晰地认识到自身在资源利用和产出方面的优势与不足。本案例选取三家企业，通过收集其投入和产出数据，运用 DEA 方法进行效率评价，为企业改进提供依据。

  1. 数据收集 对三家企业（企业 A、企业 B、企业 C）的投入和产出指标数据进行收集。

投入指标 1. 员工数量：统计企业的全职员工总数，反映企业人力投入规模。企业 A 有 200 名员工，企业 B 有 250 名员工，企业 C 有 180 名员工。 2. 固定资产投资：以企业购置固定资产（如厂房、设备等）的总金额来衡量，体现企业在硬件设施方面的投入。企业 A 的固定资产投资为 5000 万元，企业 B 为 6000 万元，企业 C 为 4500 万元。

产出指标 1. 销售额：统计企业在一定时期内的产品或服务销售总收入，是衡量企业经营成果的重要指标。企业 A 的年销售额为 8000 万元，企业 B 的年销售额为 9000 万元，企业 C 的年销售额为 7000 万元。 2. 利润：计算企业在扣除所有成本后的盈利金额，反映企业的盈利能力。企业 A 的年利润为 1500 万元，企业 B 的年利润为 1600 万元，企业 C 的年利润为 1200 万元。

整理数据如下表所示：

企业名称 员工数量（人） 固定资产投资（万元） 销售额（万元） 利润（万元）
企业 A 200 5000 8000 1500
企业 B 250 6000 9000 1600
企业 C 180 4500 7000 1200
  1. 运用数据包络分析方法进行效率评价 数据包络分析有多种模型，这里以 CCR 模型为例进行计算。CCR 模型假设企业处于规模报酬不变的状态，通过构建线性规划模型来计算每个决策单元（企业）的效率值。

对于每个企业，构建如下线性规划模型：

[ \[\begin{align*} \min \theta \\ s.t. \quad \sum_{j = 1}^{n} \lambda_j x_{ij} \leq \theta x_{ik} \quad (i = 1, \cdots, m) \\ \sum_{j = 1}^{n} \lambda_j y_{rj} \geq y_{rk} \quad (r = 1, \cdots, s) \\ \lambda_j \geq 0 \quad (j = 1, \cdots, n) \end{align*}\] ]

其中，θ\theta 为待求解的效率值，λj\lambda_j 为权重变量，xijx_{ij} 为第 jj 个企业的第 ii 种投入，yrjy_{rj} 为第 jj 个企业的第 rr 种产出，nn 为企业总数，mm 为投入指标个数，ss 为产出指标个数。

通过专业的数据分析软件（如 DEAP 等）或编程工具（如 Python 的 PyDEA 库）进行计算，得到三家企业的效率值如下：

企业名称 效率值
企业 A 1
企业 B 0.8
企业 C 0.7
  1. 结果分析
    1. 企业 A：效率值为 1，说明企业 A 在当前投入水平下实现了最大产出，是相对有效的。这意味着企业 A 在资源配置和运营管理方面达到了较为理想的状态，能够充分利用员工和固定资产等投入要素，实现较高的销售额和利润。其他企业可以借鉴企业 A 的管理经验、生产流程和市场策略等。
    1. 企业 B：效率值为 0.8，表明企业 B 存在一定的效率改进空间。进一步分析投入冗余和产出不足的情况：
    • 投入冗余分析：通过计算可能发现，企业 B 的员工数量和固定资产投资相对其产出存在一定程度的冗余。例如，与企业 A 相比，企业 B 投入了更多的员工和固定资产，但销售额和利润并没有与之成比例增长。这可能意味着企业 B 存在人员配置不合理、部分员工工作效率低下，或者固定资产闲置、利用率不高等问题。
    • 产出不足分析：从产出角度看，企业 B 虽然销售额和利润都有一定规模，但相对于其投入，还有提升的潜力。可能需要优化产品结构、拓展市场渠道、提高产品附加值等，以增加销售额和利润。
    • 改进建议：基于以上分析，企业 B 可以考虑精简人员，优化岗位设置，提高员工工作效率；对固定资产进行清查和评估，合理调配资源，提高固定资产的利用率；同时，加强市场调研和产品研发，提升产品竞争力，以实现产出的增长，提升整体效率。
    1. 企业 C：效率值为 0.7，效率相对更低，存在更明显的改进空间。同样需要深入分析投入和产出的具体情况，找出问题根源。可能在员工技能培训、固定资产更新升级、市场营销策略等方面都需要进行调整和改进。
  1. 总结 通过数据包络分析方法对三家企业的效率评价，企业管理者能够清晰地了解自身企业在投入产出方面的效率状况，与其他企业进行对比，找出优势和不足。对于效率相对较低的企业，通过分析投入冗余和产出不足的具体情况，制定针对性的改进措施，有助于提高企业的资源利用效率和整体竞争力，实现可持续发展。